ΘΕΜΑ 1ο

Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f(x)=cείναι f’(x)= 0.

Μονάδες 9

Β. α)Να δώσετε τον ορισμό της διαμέσου των παρατηρήσεων t_1, t₂ , …..,t_nμιας μεταβλητής X.

Μονάδες 3

   β)Έστω μια συνάρτηση f  με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x₁єA.

Μονάδες 3

Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση:

α)Για κάθε x>0 ισχύει ()’ = .

β)Η ταχύτητα ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα και η θέση του στον άξονα κίνησης του εκφράζεται από τη συνάρτηση x= f(t) τη χρονική στιγμή  t₀  είναι u(t₀)= f(t₀) .

γ)Η διάμεσος είναι ένα μέτρο θέσης, το οποίο επηρεάζεται από τις ακραίες παρατηρήσεις.

δ)Αν f_ι είναι η σχετική συχνότητα της τιμής   x_i μιας μεταβλητής Χ, τότε ισχύει 0≤ f_ι ≤ 1 .

ε)Σε μία κανονική περίπου κατανομή το 95% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα (-2s,+2s) όπου  η μέση τιμή και s η τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων.

Μονάδες 5

ΘΕΜΑ 2^ο

Δίνεται η συνάρτηση   f(x)=

α)Να βρείτε το

Μονάδες 7

β)Να βρείτε το κ ώστε η f να είναι συνεχής στο x=2.

Μονάδες 5

γ)Να βρείτε τη τιμή της παράστασης Α=6 f(9)- f(0).

Μονάδες 5

δ)Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(1, f(1)) .

Μονάδες 8

ΘΕΜΑ 3^ο

Οι ηλικίες  200 υπαλλήλων που απασχολεί μια επιχείρηση   έχουν ομαδοποιηθεί σε 4 κλάσεις ίσου πλάτους, όπως εμφανίζονται στον παρακάτω πίνακα:

Α) Να βρείτε το πλάτος της κάθε κλάσης.

Μονάδες 3

Β) Αν c=10 να μεταφέρετε στο τετράδιό σας το παραπάνω πίνακα και να τον συμπληρώσετε.

Μονάδες 5

Γ) Να υπολογίσετε τη μέση ηλικία των υπαλλήλων.

Μονάδες 5

Δ) Να υπολογίσετε το ποσοστό των υπαλλήλων που έχουν ηλικία τουλάχιστον 52 ετών.

Μονάδες 7

Ε) Αν από την εταιρεία αποχωρήσουν 5 από την 4^η κλάση, 5 από τη 2^η και ταυτοχρόνως προσλαμβάνονται 10 υπάλληλοι της 1^ης κλάσης, να υπολογίσετε το νέο συντελεστή μεταβλητότητας.

Μονάδες 5

ΘΕΜΑ 4^ο

Δίνεται η συνάρτηση f(x)= αx³ +x² + βx -1 η οποία παρουσιάζει ακρότατο στο -2 και ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της στο σημείο με τετμημένη 1 είναι 6.

α) Να βρείτε τις τιμές των α και β.

Μονάδες 7

β)Για α= -  και β=6  να μελετήσετε την συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

Μονάδες 6

γ)Να βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης της f  στο οποίο η εφαπτομένη της έχει το μέγιστο συντελεστή διεύθυνσης καθώς και τη τιμή του μέγιστου συντελεστή διεύθυνσης.

Μονάδες 7

δ)Να αποδείξετε ότι για κάθε xє (2015,2016) ισχύει f’(2016)<f’(2015).

Μονάδες 5

Οδηγίες προς τους εξεταζόμενους:

1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνον τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.
2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Δεν επιτρέπεται να γράψετε καμιά άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.
3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα.
4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνον με μπλε ή μόνον με μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης.
5. Κάθε απάντηση τεκμηριωμένη επιστημονικά είναι αποδεκτή.
6. Να μη χρησιμοποιήσετε το χαρτί μιλιμετρέ.
7. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.

8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: μία ώρα μετά την έναρξη.